Когда мальчику было шесть лет, в Донбасс пришла война. Немецкая оккупация продолжалась два года. Отец ушёл на фронт, мать изо всех сил старалась поддержать семью. Голод, холод, разруха, лишения — пришлось перенести всё.
В школу пошёл в неполные семь лет. Вместе с успешной учёбой Саша овладевал аккордеоном и фортепиано, играл Хлестакова в школьной постановке «Ревизора».
В 1952 году Александр Беляевский поступил на лечебный факультет Ростовского медицинского института. Занятия музыкой и драматическим искусством не мешали учёбе. Более того, он приобщился к студенческой научной работе, выполнив под руководством патофизиолога профессора Андрея Никандровича Гордиенко экспериментальную работу по изучению механизмов наркоза.
Возможно, именно тогда и решил стать анестезиологом. Заканчивать учёбу пришлось на военно-морском факультете 1-го Ленинградского медицинского института.
С 1958 по 1960 год А. Д. Беляевский служил врачом на подводной лодке в составе Краснознамённого Черноморского флота. После аварии подлодки и увольнения в запас он работал до 1969 года врачом-анестезиологом в окружном военном госпитале Северо-Кавказского военного округа после прохождения специализации по анестезиологии и реаниматологии в Ленинграде и Ростове-на-Дону.
В эти же годы началась серьёзная научная работа. С 1969 года Беляевский стал ассистентом, а затем и доцентом в медицинском институте. Выполнив на базе госпиталя соответствующие исследования, Беляевский защитил кандидатскую диссертацию, а в 1980 году — докторскую. Через год ему присвоили звание профессора анестезиологии и реаниматологии.
Александр Дмитриевич Беляевский был заслуженно признан одним из лидеров отечественной анестезиологии и реаниматологии. Ещё в 1988 году по его инициативе и под его руководством был проведён III Всероссийский съезд анестезиологов и реаниматологов, а в 2001 и 2003 годах -съезды анестезиологов и реаниматологов Юга России.
Александр Дмитриевич принимал активное участие в организации при Ростовском медицинском университете специализированного совета по защите кандидатских и докторских диссертаций по анестезиологии и реаниматологии
Профессор Беляевский — автор первого в стране двухтомного сборника задач для программированного обучения и контроля знаний (1992), ставшего основой для федеральных тестов при сертификации и аттестации врачей.
Александр Дмитриевич участвовал в разработках и выполнении ряда операций и методов лечения: пластике глазниц и передних парабазальных отделов черепа (1963), спасении больных при отравлениях сверхвысокими дозами ядов (1970). Он разработал новые принципы обезболивания в травматологии. По материалам докторской диссертации предложил новые методы лечения пострадавших при комбинированной радиационной травме.
Беляевский доказал высокую толерантность центральной нервной системы при продолжительной клинической смерти (1982). Разработал новый метод лечения при пристрастии к никотину (1985), принципиально новые методы анестезии и интенсивной терапии в акушерской и гинекологической практике (1972-1988).
В последние годы жизни учёный много занимался проблемой расширения возможностей гипербарической оксигенации путем сочетания её, в частности, с эфферентной терапией. В результате были разработаны новые методы лечения при травматической болезни головного мозга с учётом роли так называемых опосредованных факторов (1992-2004).